Los Sábados de 8:45 a 10:15 hs.
Profesor a cargo: Doctor Adrian Alvarez
CE: adalvarez@fra.utn.edu.ar
Trabajos Prácticos: Ingeniero Matías Bassi
CE: bassimatias@yahoo.com
gDrive (scripts de octave, bibliografía y más material)
Los invitamos a recorrer la página y bajarse las prácticas y teóricas de doc's además de ir bajando el software que vamos a usar Matlab- C++, Latex...
Adrian Omar Alvarez
Para bajar los archivos hacer click en los títulos
Presentaciones
Youtube - Presentación de las herramientas de programaciónYoutube - Representación del nro de máquina (flotante IEEE 754)
Grabación de clases virtuales
Clase 02 (25/04): IEEE epsilon y errores
Clase 03 (09/05) Cancelación Catastrófica Diferencia Significativa Normas
Clase 04 (17/05) Normas Matriciales Ciclos
Clase 05 (23/05) Funciones directas y recursivas número de condicionamiento
Clase 06 (30/05) Metodos directos para sistemas lineales Gauss y QR
Clase 07 (06/06) Métodos Indirectos (parte 1)
Clase 07 (06/06) Métodos Indirectos (parte 2)
Clase 07 (06/06) Métodos Indirectos (parte 3)
Clase 08 (13/06) Ecuaciones No Lineales
Clase 09 (27/07) Interpolación
Clase 10 (3/07) Errores de interpolación Splines Hermite
Clase 11 (10/07) Regresión Lineal trigonométrica ecuaciones normales
Clase 12 (18/07) SVD Inversa de Moore Penrose
Clase 18 (10/10) Ondas 2D
Prácticas
P-1 Punto Flotante
P-2 Normas y Condicionamiento
P-3 Sistemas Lineales
P-4 Ecuaciones no Lineales
P-5 Interpolación
P-6 Integración
P-7 Ortogonalidad
P-8 Ecuaciones deferenciales ordinarias
P-9 Ecuaciones en derivadas parciales
Ejemplos de exámenes
Teóricas
Intro Punto Flotante
Punto Flotante: formato IEEE 754
Normas y Condicionamiento
Sistemas Lineales
No Lineales
Interpolación
Integración
Primer Parcial
Ortogonalidad
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (teoría y códigos)
Ecuaciones Diferenciales en Derivada Parciales
Ejemplos
Material del Seminario
Trabajo Práctico
Matlab para empezar
Algunos códigos Matlab para ir empezando
Un código M de fractal ¡corranlo!..
function fractal(n)
x=linspace(-2.1,0.9,200); %rango de valores para x
y=linspace(-1.5,1.5,200); %rango de valores para y
[X,Y]=meshgrid(x,y); % se genera un mallado para x,y
c=X+Y*i; %los valores de x,y forman un numero complejo
Z=zeros(200); %se forma un vector de ceros para la variable z
for k=1:n
Z=Z.^2+c;
w=exp(-abs(Z));
pcolor(w); %se imprime en pantalla el valor de w o sea la forma del fractal
I(k)=getframe; % guarda en la variable I las imagenes para ser proyectadas
end
movie(I,-3)
Ondas: En un cuadrado, con condicion de Dirichlet y de Neuman para du/dn=0.
% Solución de la ecuación de ondas bidimensional
% d²U/dt² = c²*(d²U/dx²+d²U/dy² )
L = 5; % Longitud de un lado del cuadrado
c = 10; % velocidad de propagacion
Ub = 0; % U(t) en el borde
Ui = 0; % U inicial
Uti = 0; % U' inicial
tf = 10*L/c;
n = 30;
x = linspace(-L/2,L/2,n+1);
y = linspace(-L/2,L/2,n+1);
h = (L-0)/n;
K = 0.7*h/c;
m = round(tf/K-1); % Cantidad de nodos temporales
K = (tf-0)/m;
A = (c*K/h)^2;
U = zeros(n+1,n+1,m+1);
med = round(n/2);
Umax = 1;
for i=1:n+1
for j=1:n+1
U(i,j,1) =- Umax*exp(-12*(x(1,i)^2+y(1,j)^2));
U(i,j,2) = U(i,j,1);
end
end
for i=1:m+1
U(1,:,i) = 0;
U(n+1,:,i) = 0;
U(:,1,i) = 0;
U(:,n+1,i) = 0;
end
for k=2:(m+1)
for j=2:n
for i=2:n
U(i,j,k+1) = -U(i,j,k-1) + (2-4*A)*U(i,j,k) + A*(U(i+1,j,k)+U(i-1,j,k)+U(i,j+1,k)+U(i,j-1,k));
end
end
end
fig = figure;
set(fig,'units','normalized','outerposition',[0 0 1 1]);
for i=1:m+1
hSurface = surf(x,y,U(:,:,i));
set(hSurface,'FaceColor',[.2 0.2 1],'FaceAlpha',.75);
axis([-L/2 L/2 -L/2 L/2 -2*Umax 2*Umax])
F(i)=getframe;
end
Corranlos
Para más apuntes y libros entrar a este correo gmail:
Correo: utnfranumerico@gmail.com
Contraseña: electronicacalculo
Por si no los tienen aca colgué algunos programas y otras yerbas:
Para leer archivos
djvu
acrobat Reader
Enlace a un sitio con algoritmos de ordenamiento y búsqueda. Hay animaciones, códigos con sus respectivas especificaciones invariantes y complejidades, si alguien quiere subo además mi apunte al respecto.
sorting-algorithms
También tienenun enlace con un programa de operación algebraíca muy bueno:
MAXIMA
Es el mejor lenguaje para publicar articulos tecnológicos, matemáticos y con simbología eléctrica:
LaTex
Tanto es asi que de no publicarse en este programa en las universidades mas importantes, el trabajo ni es tenido en cuenta para evaluar.
Del siguiente sitio tambien pueden hajarse un editor LaTeX muy bueno
TeXmaker
Les agrego un manual ingles muy sencillo y en castellano
UkTeX
Un tutorial hecho por Mario Bunge (FCEyN UBA)
Rincon Matematico
Para programar:
codeblocks_C++
Tutoriales de Matlab
cnea
mathtools
Parecido a Matlab pero gratis
octave
De matrices:
Python
De estadística:
R
Presentaciones y planillas de cálculo:
openoffice
Graficos y resolución algebraica
Geogebra
Final
Es de caracter teòrico, oral, se evaluan todos los mètodos dados en clase, sus enunciados, hipòtesis y resultados, comparar ventajas y restrcciones de alpicaciòn, con descripciòn de cada mètodo.
No pedimos demostraciòn detallada, pero al menos una nociòn, nada que no se encuentre en las notas de clase, todas subidas a doc`s a las que pueden recurrir y tambièn a la biblografìa.
-
Programa
Unidad 1 Introducción Punto Flotante y Errores
Concepto de de punto flotante, IEEE 754, suma y resta, binaria y función flotante, flotante de la suma y producto, errores absoluto y relativo, densidad y distribución de los F dentro de la recta R.
Epsilon de máquina, cancelación catastrófica, soluciones numéricas.
Unidad 2 Normas y Condicionamientos
Norma de vectores y matrices, norma 2, normas p e infinito. Radio espectral. Equivalencia de normas, norma de una función, concepto de autovalores y su aplicación en los operadores lineales, cota del operador y continuidad.
Condicionamiento de funciones, normas y matrices, efectos de un mal condicionamiento, concepto de complejidad.
Unidad 3 Resolución de Sistemas Lineales
Lineales con método directo: descomposición LU o Gaussaiana, QR, Métodos iterativos, Jacobi Gauss Seidel, análisis de convergencia, via los autovalores, Aplicación a Circuitos via Ley de Ohm y Kirchoff, Método de Potencias, aplicación en el programa Google.
Unidad 4 Resolución de Sistemas no Lineales
Sistemas no lineales con los métodos:Bisección algoritmo usando Bolzano, Regula falsi con algoritmo orden de convergencia, Newton Raphson orden de convergencia, concavidad, Punto fijo Teorema de banach Cacciopoli, aplicación a funciónes contractivas.
UnidadPrimer parcial 5 Interpolación
Polinomio interpolador de Lagrange, de Newton, Método
de coeficientes indeterminados Matriz de Vandermonde, Norma infinito de funciones, Convergencia Puntual y Convergencia Uniforme, Cota de Error en la Interpolación de Hermite, Splines.
Unidad 6 Integración Numérica
Métodos de Integración de Newton Cotes, Trapecios y Simpson, grado de exactitud, Integración gaussiana, métodos estocásticos, Monte Carlo.
Primer parcial
Unidad 7 Ortogonalidad Cuadrádos Mínimos interpolacion con Fourier
Solucion mas cercana desde la norma2, Matriz de valores especializados en un polinomio genérico, Repaso de algebra lineal y ortogonalidad, ecuaciones normales y pseudoinversa de Moore Penrose, Regresión Lineal, SVD, Polinomios de Tchebychev, Cota óptima. , Introducción a las nociones de Hilbert: producto interno ortogonalidad y cuadrado integrable, Polinomios de Legendre.
Unidad 8 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales de primer y segundo orden, Método de Euler, Método de Runge Kutta, Método de Taylor ecuaciones en diferencias, Error de Aproximación Generalizado, Soluciones Recursivas, Metodos multipaso de Adams
Unidad 9 Ecuaciones Diferenciales en Derivadas parciales
Método de Diferencias Finitas, Consistencia Estabilidad y Convergencia del Método, Error de Truncamiento, Ecuaciones Diferenciales con derivadas parciales, Ecuación de Calor, Ecuación de Ondas, Método de Fourier, Elementos Finitos, problemas variacionales, armado de mallas, matriz de rigidez, vector de carga, en una o más dimensiones, bases de Galérkin, leneales cuadráticas y splines cúbicos, aplicaciones a campos.
Segundo Parcial
Bibliografía
[1] D. Kincaid + W. Cheney, Análisis Numérico, Addison-Wesley Iberoamericana, México, 1994.
[2] Duran + Rossi + Lassalle, Cálculo Numérico, Apuntes FCEyN UBA, Buenos Aires, 2006.
[3] Hoffman J.D. Numerical methods for engineers and scientists, 2ed., M.Dekker, NY, 2001.
[4] Poularikas. Transforms and applications handbook 2ed, CRC-IEEE Press, Boca Raton, 2000.
[5] Morton + Mayers, Cambridge Press, Cambridge UK, 2005.
[6] S.C. Chapra + R.P. Canale, Métodos numéricos para ingenieros, 3a Ed., McGraw-Hill, México, 1999.
[7] R. Burden + J.D. Faires, Análisis Numérico, International Thomson Editores, México, 1999.
[8] J.J. Leader, Numerical analysis and scientic computation, Addison-Wesley, New York, 2004.
[9] J.B. Conway, A course in functional analysis, Springer Verlag, NY, 1985.
[10] Susanne Brenner Rydway Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Springer NY, 2008.
[11] Alan V. Oppenheim y Ronald W. Schafer Tratamiento de señales en tiempo discreto, 3ra Edición – Pearson Madrid, 2011.
Enlaces con otras universidades
Harvard
Berkeley
MIT
Stanford
Un. Muenchen
Politecnico de Milan
Chalmers
Imperial College
Grenoble IT
IMPA-Br
Adrian Omar Alvarez
Prácticas
P-1 Punto Flotante
P-2 Normas y Condicionamiento
P-3 Sistemas Lineales
P-4 Ecuaciones no Lineales
P-5 Interpolación
P-6 Integración
P-7 Ortogonalidad
P-8 Ecuaciones deferenciales ordinarias
P-9 Ecuaciones en derivadas parciales
Ejemplos de exámenes
Teóricas
Intro Punto Flotante
Punto Flotante: formato IEEE 754
Normas y Condicionamiento
Sistemas Lineales
No Lineales
Interpolación
Integración
Primer Parcial
Ortogonalidad
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (teoría y códigos)
Ecuaciones Diferenciales en Derivada Parciales
Ejemplos
Material del Seminario
Trabajo Práctico
Matlab para empezar
Algunos códigos Matlab para ir empezando
Un código M de fractal ¡corranlo!..
function fractal(n)
x=linspace(-2.1,0.9,200); %rango de valores para x
y=linspace(-1.5,1.5,200); %rango de valores para y
[X,Y]=meshgrid(x,y); % se genera un mallado para x,y
c=X+Y*i; %los valores de x,y forman un numero complejo
Z=zeros(200); %se forma un vector de ceros para la variable z
for k=1:n
Z=Z.^2+c;
w=exp(-abs(Z));
pcolor(w); %se imprime en pantalla el valor de w o sea la forma del fractal
I(k)=getframe; % guarda en la variable I las imagenes para ser proyectadas
end
movie(I,-3)
LA TEORÍA DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES
ESTA MUY BIEN EN EL MORTON
ESTA MUY BIEN EN EL MORTON
Adjunto dos códigos Matlab para ver el fenómeno de propagación de Calor y Ondas:
Calor: En un cuadrado con temperatura inicial dada:
%Solución de la ecuación de calor bidimensional dependiente del tiempo
% dT/dt = alfa*(d²T/dx²+d²T/dy² )
% dT/dt = alfa*(d²T/dx²+d²T/dy² )
L = 1; % Longitud de un lado del cuadrado
alfa = 0.1; % Difusividad térmica
Ti = 80; % Temperatura inicial
tf = 80; % tiempo final
n=30;
x = linspace(-L/2,L/2,n+1);
y = linspace(-L/2,L/2,n+1);
h = (L-0)/n;
K = 0.2*h^2/alfa;
A = K*alfa/h^2;
m = round(tf/K-1); % Cantidad de nodos temporales
alfa = 0.1; % Difusividad térmica
Ti = 80; % Temperatura inicial
tf = 80; % tiempo final
n=30;
x = linspace(-L/2,L/2,n+1);
y = linspace(-L/2,L/2,n+1);
h = (L-0)/n;
K = 0.2*h^2/alfa;
A = K*alfa/h^2;
m = round(tf/K-1); % Cantidad de nodos temporales
% Ti * la distribucion normal conforma las condiciones de borde de la ED
% Ti es la condición inicial
% Ti es la condición inicial
T = zeros(n+1,n+1,m+1); % Reserva de memoria en un TENSOR T
%%%%% Tensor a tiempo 0 %%%%%
for i=1:n+1
for j=1:n+1
T(i,j,1) = Ti*exp(-50*(x(i)^2+y(j)^2));
end
end
for i=1:n+1
for j=1:n+1
T(i,j,1) = Ti*exp(-50*(x(i)^2+y(j)^2));
end
end
%%%%% Tensor a tiempo tf %%%%%
for i=1:m+1
T(1,:,i) = T(1,:,1);
T(n+1,:,i) = T(n+1,:,1);
T(:,1,i) = T(:,1,1);
T(:,n+1,i) = T(:,n+1,1);
end
for i=1:m+1
T(1,:,i) = T(1,:,1);
T(n+1,:,i) = T(n+1,:,1);
T(:,1,i) = T(:,1,1);
T(:,n+1,i) = T(:,n+1,1);
end
%%%%% Tensor esquema temporal %%%%%
for k=1:m
for j=2:n
for i=2:n
T(i,j,k+1) = T(i,j,k) + A*(T(i+1,j,k)+T(i,j+1,k)+T(i-1,j,k)+T(i,j-1,k)-4*T(i,j,k));
end
end
end
for k=1:m
for j=2:n
for i=2:n
T(i,j,k+1) = T(i,j,k) + A*(T(i+1,j,k)+T(i,j+1,k)+T(i-1,j,k)+T(i,j-1,k)-4*T(i,j,k));
end
end
end
fig = figure;
set(fig,'units','normalized','outerposition',[0 0 1 1]);
set(fig,'units','normalized','outerposition',[0 0 1 1]);
for i=1:m+1
surf(x,y,T(:,:,i));
axis([-L/2 L/2 -L/2 L/2 0 Ti])
F(i)=getframe;
end
surf(x,y,T(:,:,i));
axis([-L/2 L/2 -L/2 L/2 0 Ti])
F(i)=getframe;
end
Ondas: En un cuadrado, con condicion de Dirichlet y de Neuman para du/dn=0.
% Solución de la ecuación de ondas bidimensional
% d²U/dt² = c²*(d²U/dx²+d²U/dy² )
L = 5; % Longitud de un lado del cuadrado
c = 10; % velocidad de propagacion
Ub = 0; % U(t) en el borde
Ui = 0; % U inicial
Uti = 0; % U' inicial
tf = 10*L/c;
n = 30;
x = linspace(-L/2,L/2,n+1);
y = linspace(-L/2,L/2,n+1);
h = (L-0)/n;
K = 0.7*h/c;
m = round(tf/K-1); % Cantidad de nodos temporales
K = (tf-0)/m;
A = (c*K/h)^2;
U = zeros(n+1,n+1,m+1);
med = round(n/2);
Umax = 1;
for i=1:n+1
for j=1:n+1
U(i,j,1) =- Umax*exp(-12*(x(1,i)^2+y(1,j)^2));
U(i,j,2) = U(i,j,1);
end
end
for i=1:m+1
U(1,:,i) = 0;
U(n+1,:,i) = 0;
U(:,1,i) = 0;
U(:,n+1,i) = 0;
end
for k=2:(m+1)
for j=2:n
for i=2:n
U(i,j,k+1) = -U(i,j,k-1) + (2-4*A)*U(i,j,k) + A*(U(i+1,j,k)+U(i-1,j,k)+U(i,j+1,k)+U(i,j-1,k));
end
end
end
fig = figure;
set(fig,'units','normalized','outerposition',[0 0 1 1]);
for i=1:m+1
hSurface = surf(x,y,U(:,:,i));
set(hSurface,'FaceColor',[.2 0.2 1],'FaceAlpha',.75);
axis([-L/2 L/2 -L/2 L/2 -2*Umax 2*Umax])
F(i)=getframe;
end
Corranlos
Para más apuntes y libros entrar a este correo gmail:
Correo: utnfranumerico@gmail.com
Contraseña: electronicacalculo
Por si no los tienen aca colgué algunos programas y otras yerbas:
Para leer archivos
djvu
acrobat Reader
Enlace a un sitio con algoritmos de ordenamiento y búsqueda. Hay animaciones, códigos con sus respectivas especificaciones invariantes y complejidades, si alguien quiere subo además mi apunte al respecto.
sorting-algorithms
También tienenun enlace con un programa de operación algebraíca muy bueno:
MAXIMA
Es el mejor lenguaje para publicar articulos tecnológicos, matemáticos y con simbología eléctrica:
LaTex
Tanto es asi que de no publicarse en este programa en las universidades mas importantes, el trabajo ni es tenido en cuenta para evaluar.
Del siguiente sitio tambien pueden hajarse un editor LaTeX muy bueno
TeXmaker
Les agrego un manual ingles muy sencillo y en castellano
UkTeX
Un tutorial hecho por Mario Bunge (FCEyN UBA)
Rincon Matematico
Para programar:
codeblocks_C++
Tutoriales de Matlab
cnea
mathtools
Parecido a Matlab pero gratis
octave
De matrices:
Python
De estadística:
R
Presentaciones y planillas de cálculo:
openoffice
Graficos y resolución algebraica
Geogebra
Final
Es de caracter teòrico, oral, se evaluan todos los mètodos dados en clase, sus enunciados, hipòtesis y resultados, comparar ventajas y restrcciones de alpicaciòn, con descripciòn de cada mètodo.
No pedimos demostraciòn detallada, pero al menos una nociòn, nada que no se encuentre en las notas de clase, todas subidas a doc`s a las que pueden recurrir y tambièn a la biblografìa.
-
Programa
Unidad 1 Introducción Punto Flotante y Errores
Concepto de de punto flotante, IEEE 754, suma y resta, binaria y función flotante, flotante de la suma y producto, errores absoluto y relativo, densidad y distribución de los F dentro de la recta R.
Epsilon de máquina, cancelación catastrófica, soluciones numéricas.
Unidad 2 Normas y Condicionamientos
Norma de vectores y matrices, norma 2, normas p e infinito. Radio espectral. Equivalencia de normas, norma de una función, concepto de autovalores y su aplicación en los operadores lineales, cota del operador y continuidad.
Condicionamiento de funciones, normas y matrices, efectos de un mal condicionamiento, concepto de complejidad.
Unidad 3 Resolución de Sistemas Lineales
Lineales con método directo: descomposición LU o Gaussaiana, QR, Métodos iterativos, Jacobi Gauss Seidel, análisis de convergencia, via los autovalores, Aplicación a Circuitos via Ley de Ohm y Kirchoff, Método de Potencias, aplicación en el programa Google.
Unidad 4 Resolución de Sistemas no Lineales
Sistemas no lineales con los métodos:Bisección algoritmo usando Bolzano, Regula falsi con algoritmo orden de convergencia, Newton Raphson orden de convergencia, concavidad, Punto fijo Teorema de banach Cacciopoli, aplicación a funciónes contractivas.
UnidadPrimer parcial 5 Interpolación
Polinomio interpolador de Lagrange, de Newton, Método
de coeficientes indeterminados Matriz de Vandermonde, Norma infinito de funciones, Convergencia Puntual y Convergencia Uniforme, Cota de Error en la Interpolación de Hermite, Splines.
Unidad 6 Integración Numérica
Métodos de Integración de Newton Cotes, Trapecios y Simpson, grado de exactitud, Integración gaussiana, métodos estocásticos, Monte Carlo.
Primer parcial
Unidad 7 Ortogonalidad Cuadrádos Mínimos interpolacion con Fourier
Solucion mas cercana desde la norma2, Matriz de valores especializados en un polinomio genérico, Repaso de algebra lineal y ortogonalidad, ecuaciones normales y pseudoinversa de Moore Penrose, Regresión Lineal, SVD, Polinomios de Tchebychev, Cota óptima. , Introducción a las nociones de Hilbert: producto interno ortogonalidad y cuadrado integrable, Polinomios de Legendre.
Unidad 8 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales de primer y segundo orden, Método de Euler, Método de Runge Kutta, Método de Taylor ecuaciones en diferencias, Error de Aproximación Generalizado, Soluciones Recursivas, Metodos multipaso de Adams
Unidad 9 Ecuaciones Diferenciales en Derivadas parciales
Método de Diferencias Finitas, Consistencia Estabilidad y Convergencia del Método, Error de Truncamiento, Ecuaciones Diferenciales con derivadas parciales, Ecuación de Calor, Ecuación de Ondas, Método de Fourier, Elementos Finitos, problemas variacionales, armado de mallas, matriz de rigidez, vector de carga, en una o más dimensiones, bases de Galérkin, leneales cuadráticas y splines cúbicos, aplicaciones a campos.
Segundo Parcial
Bibliografía
[1] D. Kincaid + W. Cheney, Análisis Numérico, Addison-Wesley Iberoamericana, México, 1994.
[2] Duran + Rossi + Lassalle, Cálculo Numérico, Apuntes FCEyN UBA, Buenos Aires, 2006.
[3] Hoffman J.D. Numerical methods for engineers and scientists, 2ed., M.Dekker, NY, 2001.
[4] Poularikas. Transforms and applications handbook 2ed, CRC-IEEE Press, Boca Raton, 2000.
[5] Morton + Mayers, Cambridge Press, Cambridge UK, 2005.
[6] S.C. Chapra + R.P. Canale, Métodos numéricos para ingenieros, 3a Ed., McGraw-Hill, México, 1999.
[7] R. Burden + J.D. Faires, Análisis Numérico, International Thomson Editores, México, 1999.
[8] J.J. Leader, Numerical analysis and scientic computation, Addison-Wesley, New York, 2004.
[9] J.B. Conway, A course in functional analysis, Springer Verlag, NY, 1985.
[10] Susanne Brenner Rydway Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Springer NY, 2008.
Enlaces con otras universidades
Harvard
Berkeley
MIT
Stanford
Un. Muenchen
Politecnico de Milan
Chalmers
Imperial College
Grenoble IT
IMPA-Br
Adrian Omar Alvarez
Profesor a cargo
